基尼系数公式推导

原理基尼系数是通过劳伦斯曲线衡量不平等性的指数，以衡量收入的不均等性。

基尼系数=劳伦斯曲线至绝对平等线之间的面积/ 绝对平等线至绝对不平等线之间的面积

公式

q is the cumulative proportion of income；p is cumulative proportion of population

现有随机变量Y，样本量为n，将样本由小至大排序，得到y1<=y2<=y3<=...<=yn，则：

其中 p 为劳伦斯曲线的横轴，q 为纵轴，i 为第 i 个坐标，pi 为第 i 个坐标的横坐标，表示累积样本量比例，qi 为第 i 个坐标的纵坐标，表示累积样本数值比例；

可以推理出来，当随机变量Y为每人的收入时，如果财富集中在小部分人手里，则样本累加值即 qi 会持续一段时间处于较低的位置，因为大部分人的收入都较少，累计值占比也较低；直到 i 接近于 n 时，qi 才会突然增大，代表最后几个人财富的占比巨大，一下子提高了累计值。

（1）极端平等情景，所有人的收入均等

OP线，即绝对平等线 equidistribution line

由于每人收入均等，则每增加一个人（即横轴的一个单位），q的增加值都相同，则劳伦斯曲线呈现线性增长样态，可表示为 p = q 。

（2）现实情景，存在不均等

ORP线，由OP线和ORP线组成的OPR区域即 concentration zone

现实状况中每个人的收入并非均等，则每增加一个人（横轴的一个单位），q的增加值时高时低，所以绘制出的劳伦斯曲线呈现出非线性增长样态。

（3）极端不平等情景，所有财富集中于一个人

OQP线，由OP线和OQP线组成的OQR区域即 maximum concentration zone

此时财富集中于一人，在1到n-1区间每增加一个人，q的累加值都为0，在增加最后一个人的财富时，q的累加值为100%，代表其聚集了所有财富。

由原理可知，计算基尼指数需要知道concentration zone 和 maximum concentration zone 的面积比：

（1）S（maximum concentration zone）= 1*1*1/2 = 1/2

（2）S（ORPQ）的面积 Z 可以分为 n 个多边形面积之和，以 n=4 为例：

（3）S（concentration zone） = S （maximum concentration zone） - S（ORPQ）

（4）基尼系数 = （3）/ （1）

第一步：将样本依照数值由小到大排序；

第二步：由大到小，根据公式，依次计算 Pi （累积样本数量比例）、 Qi （累积样本值比例）；

第三步：根据所有Pi Qi 值，根据面积比例公式，计算G值，得到基尼指数，基尼指数越高，代表concentration area面积越大，越接近极端不平等状况。

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